Teorema de Borel-Lebesgue. Compacidad

 Sea C→R un conjunto cerrado y acotado de números reales y sea {A⍺}, una familia de conjuntos abiertos tales que:

C ⊂ U⍺A⍺

se puede entonces extraer una subfamilia finita de {A⍺} cuya unión incluye el conjunto C.

Demostración

Este teorema se demuestra siguiendo un procedimiento análogo al realizado en el Bolzano-Weierstrass.

Esta propiedad de los conjuntos cerrados y acotados de R se llama compacidad. Ten en cuenta que el conjunto R no es compacto.

A tener en cuenta:

  • Un conjunto B ⊂ R se dice que admite un recubrimiento abierto si existe una familia de abiertos {A⍺} tal que B ⊂⋃ A⍺.
  • Si B⊂⋃ A⍺ y {Aꞵ} es una subfamilia de {A⍺}, de manera que  B ⊂⋃ A⍺ entonces se dice que existe un subrecubrimiento.
  • Un recubrimiento se dice que es finito si la familia {A⍺} que recubre es finita.

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