Multiplicación de fracciones algebraicas

 Dadas dos fracciones algebraicas f(x)/g(x) y f'(x)/g'(x), definimos su multiplicación como otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores, es decir:

(f(x)/g(x)) · (f'(x)/g'(x)) = (f(x)·f'(x))/(g(x)·g'(x))

Ejemplo

Tenemos que calcular el producto de (x² - 1)/(x + 2), (5x - 7)/(x + 1).

((x² - 1)/(x + 2)) ·  ((5x - 7)/(x + 1)) = ((x² - 1)·(5x - 7))/((x + 2)·(x +1))

Como sabemos, x² - 1 = (x + 1)·(x - 1):

((x + 1)·(x - 1)·(5x - 7))/((x + 2)·(x +1))

Simplificando esta fracción algebraica:

((x - 1)·(5x - 7))/(x + 2) = (5x² - 7x -5x + 7)/(x - 2)

Agrupando términos:

(5x² - 12x + 7)/(x - 2)

Propiedades de la multiplicación de fracciones algebraicas

• Asociativa

Dadas tres fracciones algebraicas, se tiene que:

(f(x)/g(x))·[f'(x)/(g'(x) · f''(x)/g''(x)] = [(f(x)/g(x)) · (f'(x)/g'(x))]·(f''(x)/g''(x))

• Conmutativa

Dadas dos fracciones algebraicas, se verifica que:

(f(x)/g(x)) · (f'(x)/g'(x)) = f'(x)/g'(x) · (f(x)/g(x))

• Elemento neutro

Existe una fracción algebraica M(x)/M(x) = 1 que llamamos elemento neutro, verificando para cualquier fracción algebraica:

(f(x)/g(x)) · (n(x)/n(x)) = f(x)/g(x)

• Elemento inverso

Toda fracción algebraica f(x)/g(x), en la cual f(x) es distinta de 0, posee una inversa que será g(x)/f(x) y que verifica:

(f(x)/g(x)) · (g(x)/f(x)) = 1

• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición

Dadas tres fracciones algebraicas verifican siempre que:

f(x)/g(x)· [f'(x)/g'(x) + f''(x)/g''(x)] = (f(x)/g(x))·(f'(x)/g'(x)) + (f(x)/g(x))·(f'(x)/g'(x))

---

---

NOTA: La división de dos fracciones algebraicas f(x)/g(x) y f'(x)/g'(x), siendo f'(x) distinto de cero, definimos el cociente de ambas como la multiplicación de f(x)/g(x) por el inverso de f'(x)/g'(x). Es decir:

(f(x)/g(x)) ÷ (f'(x)/g'(x)) = (f(x)/g(x)) ·(g'(x)/f'(x)) = (f(x)·g'(x))/(g(x)·f'(x))