El concepto de fracción algebraica

 Sea P(x) el conjunto de todos los polinomios con una sola variable x y de coeficientes reales. Consideramos el producto cartesiano P(x) X [P(x) - (0)], siendo (0) el polinomio nulo, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados f(x), g(x), donde f(x) = P(x) y g(x) = P(x) - (0).

Entonces un par f(x), g(x) lo expresaremos de la forma f(x)/g(x) y lo llamaremos fracción, siendo f(x) el numerador de la fracción y g(x) el denominador.

Ejemplo

• (x² + 3)/(x - 1) es una fracción algebraica, siendo x² + 3 el numerador y x - 1 el denominador.
• (x² - 2x)/0 no es una fracción algebraica ya que el denominador es el polinomio 0.
• √x/(x² + 2) no es una fracción algebraica ya que el numerador no es un polinomio al ser su grado un número fraccionario.

Definición

Decimos que dos fracciones algebraicas f(x)/g(x), f'(x)/g'(x) son equivalentes y lo representamos f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x), si f(x)·g'(x) = g(x)·f'(x). Por ejemplo:

Tenemos que comprobar si son equivalentes las siguientes fracciones:

(x² - 2x)/(x² - 4), x/(x + 2)

Para que sean equivalentes, se tiene que cumplir:

(x² - 2x)·(x + 2) = (x² - 4)·x

Y efectivamente:

• (x² - 2x)·(x + 2) = x³ + 2x² - 2x² - 4x = x³ - 4x
• (x² - 4)x = x³ - 4x

Como son iguales, podemos afirmar que son fracciones algebraicas equivalentes, por lo que representan a la misma fracción algebraica.