Adición de fracciones algebraicas

 Dadas dos fracciones algebraicas, f(x)/g(x) y f'(x)/g'(x) definimos la adición de ambas como:

f(x)/g(x) + f'(x)/g'(x) = (f(x)·g'(x) + f'(x)·g(x))/(g(x)·g'(x))

Ejemplo

Tenemos que calcular la suma de

(x² - 3x)/(2x - 1) + (3x - 4)/(5x² - 1)

Aplicando lo anterior, tenemos:

(x² - 3x)/(2x - 1) + (3x - 4)/(5x² - 1) = [(x² - 3x)·(5x² - 1) + (3x - 4)·(2x - 1)]/[(2x - 1)·(5x² - 1)] =

Desarrollando los paréntesis:

(5x⁴ - x² + 15x³ + 3x +1 + 6x² - 3x -8x + 4)/(10x³ -2x -5x² + 1)

Propiedades de la adición de fracciones algebraicas

• Asociativa

Dadas tres fracciones algebraicas, se verifica:

f(x)/g(x) + [f'(x)/g'(x) + f''(x)/g''(x)] = [f(x)/g(x) + f'(x)/(g'(x)] + f''(x)/g''(x)

• Conmutativa

Dadas dos fracciones algebraicas, se verifica:

f(x)/g(x) + f'(x)/g'(x) = f'(x)/g'(x) + f(x)/g(x)

• Elemento neutro

Existe una fracción algebraica que representamos por 0/f(x), tal que para cualquier fracción algebraica f'(x)/g'(x) se verifica que:

f'(x)/g'(x) + 0/f(x) = (f'(x)·f(x)  + 0·g'(x))/(g'(x)·f(x)) = (f'(x)·f(x))/(g'(x)·f(x)) 

Simplificando:

= f'(x)/g'(x)

• Elemento opuesto

Cualquier fracción algebraica f(x)/g(x) tiene su opuesta, que representamos por -f(x)/g(x) y que verifica:

f(x)/g(x) + (-f(x)/g(x)) = (f(x) + -f(x))/g(x) = (f(x) - f(x))/g(x) = 0

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NOTA: La diferencia de dos fracciones algebraicas se define como la suma de una de ellas con el opuesto de la otra, es decir:

f(x)/g(x) - f'(x)/g'(x) = f(x)/g(x) + (-f(x)/g(x))

=(f(x)·g'(x) - f'(x)·g(x))/(g(x)·g'(x))