Relación entre funciones logarítmicas

 En este apartado vamos a ver la relación existente entre logaritmos en distinta base de un mismo número.

Tenemos:

log_ax = y => a^y = x (1)

log_bx = z => b^z = x (2)

Comparando la expresión (1) con la (2) se obtiene:

a^y = b^z

Tomamos logaritmo en base a, quedando:

log_aa^y = log_ab^z

Aplicando las propiedades logarítmicas, tenemos:

y·log_aa = z·log_ab

Ahora bien, siempre que la base y el número coinciden, el logaritmo vale 1; por tanto log_aa = 1 y la expresión anterior resulta:

y = z·log_ab

Sustituimos z e "y" por su valor logarítmico, quedando:

log_ax = log_bx·log_ab

O bien:

log_bx = log_ax/log_ab (A)

Expresión que nos indica que sabiendo el logaritmo de un número "x" en una base a, podemos saber el logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que dividir el logaritmo dado por el logaritmo en base a, de la nueva base b.

Esta fórmula de cambio de base se utiliza, fundamentalmente, tanto para el paso de logaritmos decimales a neperianos como para el caso contrario, es decir, neperianos a decimales.

Paso de logaritmos decimales a neperianos

Fijándonos en la expresión (A), dando a la base "a" el valor de 10, y a la base b el valor de "e", se obtiene:

Ln x = logx/loge (B)

El log e = 0,434294

Sustituimos en (B) el log e por su valor, quedando:

Ln x = logx/(0,434294) = (1/0,434294)·logx

Realizando la división tenemos:

Ln x = 2,30258· log x

Por tanto, para calcular el logaritmo neperiano de un número, o bien se divide su logaritmo decimal por 0,434294, o bien se multiplica por 2,30258.

Ejemplo

Calcular el Ln 25, sabiendo que log 25 = 1,3979

Ln 25 = log 25/(0,434294) = 1,3979/(0,434294) = 3,2187...

Paso de logaritmos neperianos a decimales

Si nos fijamos en la expresión (B):

Ln x = (log x)/(log e)

Despejamos:

log x = (log e)·(Ln x)

log x = 0,434294·Ln x

O lo que es lo mismo:

log x = (Ln x)/(2,30258)

Así pues, para calcular el logaritmo decimal de un número, dado su logaritmo neperiano, o bien se multiplica este por 0,434294, o bien se divide por 2,30258.

Ejemplo

Calcular log 85, sabiendo que Ln 85 = 4,4425

log 85 = 0,434294·Ln 85 = 0,434294·4,4425 = 1,9294