Introducción a las ecuaciones logarítmicas

 Se denominan ecuaciones logarítmicas aquellas ecuaciones en las cuales la incógnita está afectada por la operación del logaritmo.

Por ejemplo:

log(2x - 8) - log3 = 7, log((5x-3)/(2x - 7)) = log5, etc

La forma de resolverlos es muy sencilla. Se realizan en la ecuación las operaciones matemáticas necesarias para transformarlas en una igualdad de logaritmos; una vez conseguido, sólo tendremos que aplicar antilogaritmos para obtener una igualdad de ecuaciones.

Ejemplos

Sea la ecuación

log₃(x + 1) + log₃3 = log₃6

Recordando las operaciones con logaritmos, sabemos que la suma de dos logaritmos es el logaritmo de un producto, luego tenemos:

log₃[(x + 1)3] = log₃6

Aplicando antilogaritmos, puesto que ya hemos logrado la igualdad de logaritmos, nos queda:

(x+1)3 = 6

Eliminado paréntesis:

3x + 3 = 6

Despejando x tendremos:

x = (6 - 3)/3 = 1

Resolver la ecuación logarítmica:

log₂(1 - 2x)/log₂(1 - x) = 2

Quitamos el cociente pasando el denominador multiplicando al otro miembro:

log₂(1 - 2x) = 2log₂(1 - x)

Como ya hemos conseguido la igualdad de logaritmos, se toman antilogaritmos y queda:

1 - 2x = (1 - x)²

Se desarrolla el cuadrado de la diferencia:

1 - 2x = 1 + x² - 2x

Se pasan las "x" a un miembro y los números a otro:

x² -2x +2x = 1 - 1

x² = 0

Quitamos el cuadrado:

x = 0