Ejercicios de repaso de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

 Para repasar lo explicado en anteriores entradas, vamos a realizar los siguientes ejercicios:

1. Representar gráficamente la función logarítmica y = log₅x.
2. Resolver la ecuación exponencial 2^3x = 8^{-x + 3}
3. Resolver la ecuación logarítmica 3logx - log32 = log(x/2)

Soluciones

Como se suele hacer, representamos algunos valores (1/25, 1/5, 1, 5, 25):

• Para x = 1/25, log₅(1/25) = y → 5^y = 1/25 → 5^y = 1/5² → 5^y = 5^-2 → y = -2
• Para x = 1/5,  log₅(1/5) = y → 5^y = 1/5 → 5^y = 1/5¹ → 5^y = 5^-1 → y = -1
• Para x = 1, log₅(1) = y → 5^y = 1 → 5^y = 5⁰ → y = 0
• Para x = 5, log₅(5) = y → 5^y = 5 → 5^y = 5¹ → y = 1
• Para x = 25,  log₅(5) = y → 5^y = 25 → 5^y = 5² → y = 2

Plasmamos los valores obtenidos en una tabla:

2.

Como 8 = 2³, podemos poner la ecuación como:

2^3x = (2³)^{-x + 3}

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes:

2^3x = 2^{-3x + 9}

Primer método

Una vez igualadas las bases, se igualan los exponentes.

3x = -3x + 9

Se agrupan los incógnitas:

6x = 9

Despejamos x:

x = 9/6 = 1,5

Segundo método

Se toman logaritmos:

log2^3x = log2^{-3x + 9}

Se aplica el logaritmo de una potencia:

3xlog2 = (-3x + 9)log2

Se agrupan los logaritmos en un mismo miembro:

3x = (-3x + 9)(log2/log2)

Como log2/log2 = 1, queda 3x = -3x + 9, obteniendo el mismo resultado que usando el método anterior.

3.

Aplicando el logaritmo de una potencia:

logx³ - log32 = log(x/2)

Aplicando el logaritmo de un cociente

log(x³/32) = log(x/2)

Se toman antilogaritmos:

x³/32 = x/2

Se quitan los cocientes:

2x³ = 32x

Se simplifica dividiendo entre dos:

x³ = 16x

Pasamos todo al primer miembro:

x³ - 16x = 0

Como se trata de una ecuación de tercer grado, tendrá tres soluciones.

Sacamos x factor común:

x(x²-16) = 0

Si el primer miembro se tiene que igualar a cero, pueden ocurrir dos cosas:

x = 0 (1ª solución)

 

o

x²-16 = 0, x² = 16

Quitamos el cuadrado sacando raíz en los dos miembros, y obtenemos que:

x = 4, x = -4 (2ª y 3ª solución)